На каждый день | Кинематика точки

ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ: положение точки задается ее радиус-вектором (рис. 1)

Скорость точки определяется как вектор , направленный по касательной к годографу радиус-вектора r в направлении движения (рис. 1, а).

Ускорение определяется как вектор , направленный по касательной к годографу скорости (рис. 1,б).

Рисунок 1.

КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. В декартовых координатах положение точки задается ее координатами (рис. 2, а):

Рисунок 2.

Скорость точки определяется ее проекциями на оси координат:

Ускорение определяется его проекциями на оси координат:

Движение точки в плоскости может быть задано также и в полярных координатах (рис. 2,б):

Скорость точки определяется ее составляющими:

Ускорение точки определяется составляющими:

модуль ускорения:

ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. Задается:

а) траектория движения, т. е. линия в пространстве, с точками которой последовательно совмещается в своем движении исследуемая точка: с траекторией связана естественная система координат, показанная на рис. 3, где Q - соприкасающаяся плоскость, Т - касательная, N - главная нормаль и B - бинормаль к траектории в той ее точке, в которой находится движущаяся точка М в данный момент. - орты осей Т и N;

Рисунок 3.

б) начало 0 и направление (+, -) отсчета расстояний вдоль траектории;

в) закон движения s=s(t), определяющий расстояние s от начала отсчета расстояний до положения точки в данный момент (дуговую координату точки).

Скорость точки определяется своей проекцией на касательную:

имеющий знак «+» в том случае, когда движение происходит в направлении отсчета расстояний.

Ускорение определяется своими проекциями на оси естественных координат:

нормальное ускорение

где ρ - радиус кривизны траектории, в данной точке; касательное ускорение

Полное ускорение

Нормальное ускорение определяет изменение скорости по направлению, а касательное - по величине.

Модуль ускорения:

СВЯЗЬ ВЕКТОРНОГО СПОСОБА С КООРДИНАТНЫМ И ЕСТЕСТВЕННЫМ выражается соотношениями:

где - орт касательной к траектории в данной точке, направленный в сторону отсчета расстояний, - орт нормали к траектории в данной точке, направленный в сторону центра кривизны (см. рис. 3).

СВЯЗЬ КООРДИНАТНОГО СПОСОБА С ЕСТЕСТВЕННЫМ. Уравнение траектории f(x, y)=z; f₁(x, z)=y получается из уравнений движения в координатной форме посредством исключения времени t. Дополнительным анализом значений, которые могут принимать координаты точки, определяется тот участок кривой , который является траекторией. Например, если движение точки задано уравнениями: x=sin t; y=sin²t=x², то траекторией точки является тот участок параболы у=х², для которого -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Начало и направление отсчета расстояний выбираются произвольно, этим в дальнейшем определяется знак скорости и величина и знак начального расстояния s₀.

Закон движения определяется зависимостью:

знак + или - определяется в зависимости от принятого направления отсчета расстояний.