На каждый день | Дифференциальные уравнения

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Преобразование общего решения. Пусть дано, например, обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка без правой части F(y", у', у, x)=0 и найдено его общее решение, содержащее две произвольные постоянные:

здесь Y1(x) и Y2(x) - линейно независимые частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему. Дифференцируя, находим

При х=0 имеем

Эти два уравнения решаются относительно C1 и С2:

Подставив эти выражения в общее решение, получаем его в виде

Произвольные величины у(0), у'(0) называются начальными параметрами, а Z1(x), Z2(x) - функциями влияния. Функции влияния Z1, Z2 представляют собой линейные комбинации частных решений:

Аналогично для уравнения четвертого порядка

Частное решение неоднородного уравнения может быть получено методом развертывания общего решения однородного уравнения (см. 5.5.6).

Поделитесь ссылкой в социальных сетях