На каждый день | Аналитическая механика

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА

При отнесении движения системы к обобщенным координатам q₁, q₂, ..., q_n уравнения движения системы приобретают вид:

где Т - кинетическая энергия системы; q_i - обобщенные координаты; - обобщенные скорости и Q_i - обобщенные силы системы.

Эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат. Если действующие на систему силы имеют потенциальное силовое поле (являются консервативными), то , где П - потенциальная энергия системы, и уравнение (1) приобретает вид:

Введя функцию Лагранжа L=T-П и учитывая, что , получаем

ПРИМЕР. Составить дифференциальные уравнения движения математического маятника, состоящего из сосредоточенной массы m, подвешенной к концу упругой нити, длина которой в положении равновесия l и жесткость с (рис. 1).

Рисунок 1.

РЕШЕНИЕ. Длина нити где l₀ - длина нерастянутой нити; mg/c - статическое удлинение нити под действием веса P=mg; z - удлинение нити сверх l.

Система имеет две степени свободы; в качестве обобщенных координат принимаем удлинение нити от положения равновесия z и угол отклонения нити от вертикали φ. Скорость точки в полярных координатах см. формулу (6а)

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия (за нулевое положение принято положение статического равновесия)

Функция Лагранжа

Дифференциальные уравнения движения:

обсудить на форуме

объявления: стройка и ремонт

Поделитесь ссылкой в социальных сетях