На каждый день | Дифференциальные уравнения
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Это уравнение - неоднородное линейное; если F(x)=0, то уравнение называется однородным линейным.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид y=C1y1+C2y2, где C1,C2 - постоянные; y1, у2 - линейно независимые решения уравнения (две функции называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянной). Такие решения у1 и y2 образуют так называемую фундаментальную систему решений.
Если известно только одно частное решение однородного уравнения у1 то другое находится по формуле
где С - постоянная.
Если коэффициенты р(х), q(x) и F(x) разлагаются в сходящиеся ряды по степеням х-х0 в некоторой окрестности точки х0, то решения ищут также в форме рядов по степеням х-х0, сходящихся в той же окрестности. Коэффициенты разложения находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x-x0.
Задача отыскания решений однородного уравнения значительно упрощается, если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны:
где а0, a1, а2 - данные числа. Решения уравнения зависят от корней характеристического уравнения a0k2+а1k+a2=0. в табл. 1 даны результаты в зависимости от дискриминанта
Таблица 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 1 функция φ(х) есть частное решение неоднородного уравнения; оно может быть найдено по способу неопределенных коэффициентов, если правая часть дифференциального уравнения имеет следующую структуру:
где Р1(х) и Р2(х) - многочлены.
В общем же случае применяют вариацию произвольных постоянных, а именно: заменяют постоянные C1 и С2 функциями C1(x) и С2(х); производные этих функций должны удовлетворять системе алгебраических линейных уравнений:
Найдя С′1 и С′2, получают
где D1 и D2 - произвольные постоянные.
Уравнение вида x2y"+xp(x)y'+q(x)y=0 в том случае, если р(х) и q(x) разлагается в сходящиеся ряды по степеням х, имеет решение
где k определяется из уравнения
а коэффициенты а0, а1, ... находят методом неопределенных коэффициентов.
ПРИМЕР 1. Уравнение Эйлера:
В этом случае
и решение имеет вид
ПРИМЕР 2. Уравнение Бесселя:
Для k получается
откуда k=±y.
Два решения имеют вид
Определение аp с помощью метода неопределенных коэффициентов приводит к функциям Бесселя (см. "Функции Бесселя").
Примечание: Символ неопределенного интеграла используется для обозначения какой-либо первообразной от подынтегральной функции.
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
