На каждый день | Векторное и тензорное исчисление

ТЕНЗОРЫ

Пусть вектор задан своими координатами а1, а2, a3 системе декартовых координат с базисом 1, 2, 3 ( 1, 2, 3 - орты, направленные по осям координат). В другой системе прямоугольных декартовых координат с базисом e′1, e′2, e′3 координаты вектора будут

координаты вектора

где .

Это позволяет определить вектор как совокупность трех величин аi (i=1, 2, 3), которые определены в каждой системе декартовых координат и при переходе от одной из этих систем к другой преобразуются по указанным формулам. При таком определении вектора назовем его тензором (аффинным ортогональным тензором) первого ранга аi (по числу индексов в этом обозначении).

Обобщением данного определения вектора является понятие тензора второго ранга. Если в каждой системе прямоугольных декартовых координат определена совокупность величин aik (i, k=1, 2, 3), которые при переходе от системы координат с базисом 1, 2, 3 к системе координат с базисом 1, 2, 3 преобразуются по формулам

то совокупность величин aik называется аффинным ортогональным тензором, второго ранга (по числу входящих в это обозначение индексов).

Аналогично можно определить тензоры третьего, четвертого и т. д. рангов (и не только в трехмерном пространстве, но и в пространстве любого числа измерений).

Тензор второго ранга можно представить в форме

Тензор второго ранга

Тензор называется симметричным, если aik=aki, и кососимметричным, если aik=-aki.

Всякий тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров по формуле

сумма симметричного и кососимметричного тензоров

Совокупность девяти компонентов напряжения образует симметричный тензор второго ранга - тензор напряжений

тензор напряжений

Поделитесь ссылкой в социальных сетях