На каждый день | Ряды Фурье

ПРИБЛИЖЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Формулы Чебышева. Во многих случаях (например, если вычисление коэффициентов разложения представляет трудности, если функции заданы графически или в табличной форме) применяют другие приемы разложения в тригонометрический ряд. Один из них заключается в замене интегралов суммами.

Пусть период 2π разделен на m равных частей точками

и значения функции f(xk)=fk заданы или могут быть измерены. Тогда для вычисления коэффициентов суммы

содержащей 2n коэффициентов, при m=2n можно пользоваться следующими формулами:

(формулы Чебышева - Бесселя).

Формулы по методу наименьших квадратов. При m>2n, т. е. когда число измерений превышает число коэффициентов, следующие формулы дают наилучшее приближение по методу наименьших квадратов:

Если ограничиться первыми тремя гармониками и если не требуется большая точность, можно вычислить коэффициенты разложения по следующей схеме:

где

Для вычисления b2 разделим период 2π не на 12 частей, как для вычисления других коэффициентов, а на 8 равных частей, допуская, что соответствующие значения

можно снять с графика; тогда

ПРИМЕР 1. Найти приближенную формулу для тригонометрического ряда, представляющего наблюдения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1.

f0

f1

f2

f3

f4

f5

2,714

3,042

2,134

1,273

0,788

0,495

f6

f7

f8

f9

f10

f11

0,370

0,540

0,191

-0,357

-0,437

0,767

 

Пользуясь приведенными выше формулами, находим

Построив график функции f(x) и сняв с него ординаты f1, f3, f5, f7, получим 4b2= f1-f3+f5-f7=2,36, откуда b2=0,59 (приближенно).

Таким образом, приближенная формула для искомого ряда Фурье будет

Гармонический анализ и синтез можно производить посредством приборов (гармонических анализаторов и синтезаторов).

Поделитесь ссылкой в социальных сетях