На каждый день | Дифференциальная геометрия
ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Кривая на плоскости может быть задана в декартовых координатах одним уравнением F(x, у)=0 или у=f(x), а также двумя уравнениями x=x(t), y=y(t), где t - переменная величина, называемая параметром. В частности, в качестве параметра может быть выбрана длина дуги s между фиксированной (начальной) и текущей точками кривой; тогда x=x(s), y=y(s). В полярных координатах кривая определяется уравнением ρ=f(φ).
Для дифференциала длины дуги ds справедливы равенства
Угол α между осью X и касательной (рис. 1) определяется по одной из формул
Рисунок 1.
Касательная считается направленной в сторону возрастания х (первая формула) или в сторону возрастания s (вторая и третья формулы). Для угла Ψ между касательной и полярным радиусом (рис. 2) имеем
Рисунок 2.
Уравнения касательной и нормали к кривой в ее точке приведены в табл. 1.
Таблица 1.
Геометрические элементы |
Уравнения линии |
|
в основном виде y=f (х) |
в параметрическом виде х=х(t); у=у(t) |
|
|
Уравнение касательной |
|
|
|
Уравнение нормали |
|
|
|
Длина подкасательной РТ (рис. 3) |
|
|
|
Длина поднормали PN |
|
|
|
Длина дуги s |
|
|
|
Радиус кривизны R и координаты ξ, η центра кривизны линии |
|
|
Рисунок 3.
Дуга кривой называется вогнутой (выпуклой), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке этой дуги. Точка, отделяющая вогнутый участок кривой от ее выпуклого участка, называется точкой перегиба. Если кривая задана уравнением y=f(x) и для всех значений х из данного интервала у">0 (у"<0), то дуга кривой, соответствующая данному интервалу, вогнута (выпукла).
Точка перегиба М(х0, у0) кривой у=у(х) находится на основании какого-либо из двух условий:
1) у"(х0)=0 (или при х=х0 функция у(х) не имеет конечной второй производной), а при переходе через значение х0 величина у"(х) изменяет знак;
2) y"(х0)=0, а наинизшая из производных у"', y(lV), ..., которая при х=x0 отлична от нуля, имеет нечетный порядок.
Кривизной линии в точке М называется величина
где θ - угол между направленными касательными в точках М, M1 данной линии, а - длина дуги.
Величина R = 1/K называется радиусом кривизны.
Пусть через точку М линии проведена в сторону ее вогнутости нормаль; точка С нормали, находящаяся на расстоянии R от М, называется центром кривизны линии (соответствующим точке М). Формулы для определения радиуса кривизны и координат центра кривизны даны в табл. 1.
Эволюта кривой - геометрическое место ее центров кривизны (рис. 4); исходная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой (инволютой, разверткой). Касательные к эволюте являются нормалями к эвольвенте; длина дуги между двумя точками эволюты равна разности радиусов кривизны в соответствующих точках эвольвенты. Эти свойства позволяют рассматривать эвольвенту как кривую, получающуюся из эволюты разматыванием натянутой на нее нити. Если координаты ξ, η любой точки эволюты заданы как функции дуги s эволюты, то уравнение эвольвенты находится из соотношений
Здесь s0 - значение параметра s для точки эволюты, где начинается развертывание кривой.
Рисунок 4.
Огибающей называется линия, касающаяся в каждой своей точке какой-либо из кривых семейства F(x, у, р)=0, зависящего от одного параметра р, и имеющая точку касания с каждой кривой этого семейства. Уравнение огибающей находится в результате исключения р из двух уравнений:
Ортогональной траекторией семейства кривых F(x, у, р)=0 называется линия, пересекающая все кривые этого семейства под прямым углом. Для получения дифференциального уравнения ортогональной траектории исключают р из уравнений
Вернуться к списку
|
Распечатать
|
