На каждый день | Дифференциальные уравнения

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод последовательных приближений. Пусть требуется найти решение уравнения y′=f(x, у), удовлетворяющее условию: y=y0 при х=х0. Вместо данного уравнения можно написать

Положим, что в некоторой прямоугольной области изменения х, у с центром в точке (х0, y0) функция f(х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица:

где N - постоянная. Тогда последовательность функций (последовательных приближений)

сходится в некоторой окрестности точки х=х0 к функции у(х), которая является решением данного дифференциального уравнения и удовлетворяет поставленному начальному условию. Останавливаясь на одной из функций уn (х) указанной последовательности, получают при достаточной большом n приближенное решение с требуемой точностью.

Метод рядов. Допустим, что нужно найти решение уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=y0. При некоторых ограничениях, накладываемых на функцию f(x, у), эту задачу можно решить следующим образом. Подставляя в правую часть уравнения вместо х, у их начальные значения x0, у0, получаем у'(х0). Затем, последовательно дифференцируя уравнение и заменяя в правой части х, у, у', ... их начальными значениями, определяем шаг за шагом у0=у′′(х0), у′′′0=у′′′(х0), ... . Это позволяет представить решение у в виде ряда Тейлора (см. "Степенные ряды"). Указанный метод применим к уравнению любого порядка, разрешенному относительно старшей производной, если решается задача Коши.

Численное интегрирование. Требуется найти решение уравнения y"=f(x, у, у′), удовлетворяющее начальным данным у=у0, у′=у′0 при х=х0. Берут ряд последовательных значений x1, x2, хn аргумента х с постоянным приращением ?х=хn+1n и вычисляют значения функции у1, у2, …, уn и ее производной у′1, у′2, ..., у′n, соответствующие этим значениям аргумента, следующим образом. Сначала вычисляют

затем

и находят более точно первое приближение:

Затем все действия с уже найденными величинами повторяют до получения требуемой точности, переходя от n-го приближения к n+1-му следующим образом:

Приближенные методы решения краевых задач. Пусть дано дифференциальное уравнение, обыкновенное или в частных производных L(ω)=M, где L(ω) - дифференциальный оператор от неизвестной функции ω; М - заданная функция от независимых переменных. Положим, что поставлена краевая задача: найти решение указанного дифференциального уравнения в области Ω, удовлетворяющее заданным однородным граничным условиям на границе области. Весьма общим приближенным методом решения этой задачи является обобщенный метод Галеркина. Он состоит в следующем.

Выбираем две системы функций: φ1, φ2, ...; ψ1, ψ2, .... подчиненные следующим требованиям. Функции φ1, φ2, ... удовлетворяют заданным граничным условиям и взятые в любом конечном числе являются линейно независимыми; система ψ1, ψ2, ... полна в пространстве L2 функций с интегрируемым квадратом. Это означает, что каждая функция из L2 может быть с любой точностью аппроксимирована полиномом a1ψ1+a2ψ2+…+anψn при достаточно большом n (такое требование эквивалентно условию, чтобы не существовало ненулевой функции из L2 ортогональной к каждой функции ψn). Если ищется решение ωn, приближенное в «среднем» в том или ином смысле, то соответственным образом следует трактовать полноту выбираемой системы функции.

Приближенное решение ωn поставленной краевой задачи ищется в виде

Постоянные коэффициенты A1, A2, ..., An определяются из условия, чтобы выражение L(ωn) - М было ортогонально к каждой из функций ψ1, ψ2, ψn. Это приводит к уравнениям

т. е. получается линейная алгебраическая система относительно коэффициентов Аi:

Таким образом, решение краевой задачи по излагаемому методу сводится к решению указанной системы для Ai.

Из этого метода как частные случаи получаются другие приближенные, методы решения краевых задач. Этот метод тесно связан с так называемыми вариационными методами (его частные формы при некоторых условиях приводят к тем же уравнениям, что и вариационные методы).

а) При ψkk, получается метод Галеркина (или, как его еще называют, метод Бубнова - Галеркина). В этом случае система уравнений для Ai принимает вид

Метод Галеркина часто приводит к довольно точному результату даже при небольшом n (см. ниже пример 1). Для задач, в которых решение ω приводит к минимуму некоторого функционала, этот метод эквивалентен вариационному методу Ритца (см. "Прямые методы").

б) При ψk=Λ(φk), где Λ - какой-либо подходящим образом выбранный оператор, получается метод моментов. В частности, при ψk=L(φk) он совпадает с методом наименьших квадратов. Последний состоит в том, что коэффициенты Ai в выражении ωn определяются из условия, что они обращают в минимум интеграл

Тогда для Ai получаются уравнения

которые совпадают с вышеуказанными общими уравнениями для Ai при ψk=L(φk).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 1), защемленную по всему контуру и находящуюся под действием равномерной, нагрузки q кГ/см2. Уравнение для прогиба пластинки:

где ω - прогиб пластинки; D - цилиндрическая жесткость пластинки при изгибе.

Граничные условия задачи: при x=±а и y=±b

прямоугольная пластинка

Рисунок 1.

Для приближенного решения задачи задаемся линейно независимой системой функций, удовлетворяющих граничным условиям:

так что

Для первого приближения ограничимся первым слагаемым, положив φ11; получим

Максимальный прогиб квадратной пластинки

По точному решению получается

Поделитесь ссылкой в социальных сетях