На каждый день | Аналитическая геометрия

ПАРАБОЛА

Парабола есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы, симметричной относительно оси X, с вершиной в начале координат (каноническое уравнение): у2=2рх (р - параметр); О - вершина; F - фокус; LL - директриса; LO = OF=p/2; ордината FF' в фокусе равна р (рис. 1). Полярное уравнение (F - полюс, FO - полярная ось);

Полярное уравнение

Уравнение параболы

Рисунок 1.

Прямая, параллельная оси X, является диаметром параболы; диаметр параболы делит пополам хорды, параллельные касательной, проведенной в точке пересечения параболы с диаметром. Если угловой коэффициент хорд равен k, то уравнение соответствующего диаметра есть у=р/к.

Уравнение касательной в точке М000):

Уравнение касательной

Уравнение нормали в точке (х0, у0):

Уравнение нормали

Радиус кривизны в точке (х0; у0):

Радиус кривизны

где ρ - полярный радиус.

Эволюта параболы (геометрическое место центров кривизны параболы) - полукубическая парабола:

Эволюта параболы

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси У:

Уравнение параболы

Пример: уравнение параболической арки (рис. 2)

уравнение параболической арки

уравнение параболической арки

Рисунок 2.

Вершина параболы у=ах2+bх+с находится в точке

Вершина параболы

если а>0, парабола направлена вогнутостью вверх, если а<0 - вогнутостью вниз.

Поделитесь ссылкой в социальных сетях